Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点H，连接AD，分别交CE、BC于点P、Q，连接BD．
（1）求证：P是线段AQ的中点；
（2）若⊙O的半径为5，AQ=，求弦CE的长．

Answer 1

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，
∴=．
又∵C是的中点，
∴=，
∴=．
∴∠ACP=∠CAP．
∴PA=PC，
∵AB是直径．
∴∠ACB=90°．
∴∠PCQ=90°-∠ACP，∠CQP=90°-∠CAP，
∴∠PCQ=∠CQP．
∴PC=PQ．
∴PA=PQ，即P是AQ的中点；

（2）解：∵=，
∴∠CAQ=∠ABC．
又∵∠ACQ=∠BCA，
∴△CAQ∽△CBA．
∴===．
又∵AB=10，
∴AC=6，BC=8．
根据直角三角形的面积公式，得：AC•BC=AB•CH，
∴6×8=10CH．
∴CH=．
又∵CH=HE，
∴CE=2CH=．
分析：（1）首先利用等角对等边证明：∠ACP=∠CAP得到：PA=PC，然再证明PC=PQ，即可得到P是AQ的中点；
（2）首先证明：△CAQ∽△CBA，依据相似三角形的对应边的比相等求得AC、BC的长度，然后根据直角三角形的面积公式即可求得CH的长，则可以求得CE的长．
点评：本题考查了圆周角定理以及相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式，正确理解定理是关键．