题目内容

如图，在直角坐标系中，抛物线y=x²-x-6与x轴交与A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交与C点，如果点M在y轴右侧抛物线上，且 $数学公式$ ，那么点M的坐标是________．

（1，-6）或（4，6）
分析：根据抛物线的定义可求出m=2，然后再令y=0，解方程求出A，B两点，再令x=0，求出C点坐标，设出M点坐标，根据它在抛物线上和S_△ABO= $\text{[math]}$ S_△COB，这两个条件求出M点坐标．
解答：

解：∵y=x²-x-6为抛物线，
∵抛物线y=x²-x-6与x轴交于A，B两点，
令y=0，设方程x²-x-6=0的两根为x₁，x₂，
∴x₁=-2，x₂=3，
∴A（-2，0），B（3，0），
设M点坐标为（a，a²-a-6），（a＞0）
∵S_△AMO= $\text{[math]}$ S_△COB，
∴ $\text{[math]}$ ×AO×y_M= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×OC×x_B
∴ $\text{[math]}$ ×2×|a²-a-6|= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×6×3，
解得，a₁=0，a₂=1，a₃=-3，a₄=4，
∵点M在y轴右侧的抛物线上，
∴a＞0，
∴a=1或a=4，
a²-a-6=1²-1-6=-6，或a²-a-6=4²-4-6=6
∴M点坐标为（1，-6）或（4，6）．
故答案为：（1，-6）或（4，6）．
点评：此题主要考查了一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，若方程无根说明函数与x轴无交点，其图象在x轴上方或下方，两者互相转化，要充分运用这一点来解题，另外此题把三角形的面积关系式与函数的图象联系起来，计算量比较大，关键是利用三角形的几何关系来解题．