题目内容
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，延长AB到点D，使AB=BD，连结CD，如果tan∠DCB=| 1 |
| 3 |
分析：过点B作BE∥AC，交CD于E，就可以得出∠CBE=90°，就有
=
，设BE=x，BC=3x，由BE∥AC就可以得出△DBE∽△DAC就可以表示出AC，由勾股定理就可以得出AB，从而求出结论．
| BE |
| BC |
| 1 |
| 3 |
解答：解：过点B作BE∥AC，交CD于E，
∴∠CBE=∠ACB．
∵∠ACB=90°，
∴∠CBE=90°．
∴tan∠DCB=
．
∵tan∠DCB=
，
∴
=
，
∴BC=3BE．
∵BE∥AC，
∴△DBE∽△DAC，
∴
=
．
∵AD=AB+BD，AB=BD，
∴AD=2BD．
∴
=
=
，
∴AC=2BE．
设BE=x，则BC=3x，AC=2x，在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB=
x．
∵sin∠A=
，
∴sin∠A=
=
．
故选A，
∴∠CBE=∠ACB．
∵∠ACB=90°，
∴∠CBE=90°．
∴tan∠DCB=
| BE |
| BC |
∵tan∠DCB=
| 1 |
| 3 |
∴
| BE |
| BC |
| 1 |
| 3 |
∴BC=3BE．
∵BE∥AC，
∴△DBE∽△DAC，
∴
| BE |
| AC |
| BD |
| AD |
∵AD=AB+BD，AB=BD，
∴AD=2BD．
∴
| BE |
| AC |
| BD |
| 2BD |
| 1 |
| 2 |
∴AC=2BE．
设BE=x，则BC=3x，AC=2x，在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB=
| 13 |
∵sin∠A=
| BC |
| AB |
∴sin∠A=
| 3x | ||
|
3
| ||
| 13 |
故选A，
点评：本题考查了直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的性质的运用，三角函数的运用，解答时运用三角形函数和相似三角形的性质求解是关键．
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