Question

抛物线y=ax²+bx+c经过点O（0，0），A（4，0），B（2，2）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）画出此抛物线的草图；
（3）求证：△AOB是等腰直角三角形；
（4）将△AOB绕点O按顺时针方向旋转135°得△OA'B'，写出边A'B'的中点P的坐标，试判定点P是否在此抛物线上，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用O、A、B三点，把三点代入函数解析式，解出系数，确定出函数解析式．
（2）利用函数解析式绘出图象．
（3）利用两点之间的距离公式确定出OB、AB的值，验证他们是否相等．
（4）画出将△AOB绕点O按顺时针方向旋转135°得△OA'B'的图象，利用图象求解．

解答：解：（1）由题意可得

c=0 16a+4b+c=0 4a+2b+c=2

解得

a=- 1 2 b=2 c=0

∴y=-

1

2

x2+2x．

（2）如图．

（3）如图，直线BC为抛物线的对称轴，
∴BC⊥x轴于点C，
在Rt△BOC中：OC=BC=2，∴OB=2

2

．
同理可得，AB=2

2

=OB．
∵AB²+OB²=16=OA²，
∴△OAB为等腰直角三角形．

（4）旋转135°后点B'落在y轴上，如图，
则A'B'⊥x轴，∴B′(0，-2

2

)，A′(-2

2

，-2

2

)
∵点P为A'B'的中点，
∴点P坐标为P(-

2

，-2

2

)．
当x=-

2

时，y=-1-2

2

≠-2

2

，
∴点P不在此抛物线上．
答：点P不在此抛物线上．

点评：本题主要考查了二次函数解析式系数的确定，以及二次函数图象的相关知识．