Question

（2012•洛阳二模）如图，已知反比例函数y=

k

x

(k≠0)的图象经过点（

1

2

，8），直线y=-x+b与该反比例函数图象交于点P与点Q（4，m）．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）根据所给条件，请直接写出当x＞0时不等式-x+b＜

k

x

的解集

0＜x＜1或x＞4

；
（3）设该直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连结OP、OQ，求△OPQ的面积．

Answer 1

分析：（1）根据图象上的点来求出函数解析式；
（2）根据图象可直接写出解集；
（3）分别求出A、B、P坐标，然后根据S_△OPQ=S_△ABO-S_△POB-S_△QOA即可求出面积．

解答：解：（1）反比例函数y=

k

x

(k≠0)的图象经过点（

1

2

，8），
把点代入可得：k=xy=

1

2

×8=4，
故反比例函数解析式为：y=

4

x

，
∵点Q是直线y=-x+b与该反比例函数的交点，
∴m=

4

4

=1，
则点Q的坐标为（4，1），
把点Q代入直线解析式得：1=-4+b，
解得：b=5，
故直线的解析式为：y=-x+5；

（2）由图可知，解集为：0＜x＜1或x＞4；

（3）根据直线解析式：y=-x+5，
可得直线与x轴y轴的交点分别为：A（5，0），B（0，5），
联立直线与反比例函数解析式，

y= 4 x y=-x+5

，
解得：

x=1 y=4

或

x=4 y=1

，
即P点坐标为（1，4），
过P作PE垂直y轴于E，过Q作QF垂直x轴于F，
则S_△OPQ=S_△ABO-S_△POB-S_△QOA=

1

2

×OA•OB-

1

2

×OB•PE-

1

2

×OA×QF=

1

2

×5×5-

1

2

×5×1-

1

2

×5×1=

15

2

．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，难度适中，解答本题的关键是根据点的坐标求解析式和根据解析式求点的坐标．