Question

已知：抛物线y=-x²-2（a-1）x-（a²-2a）与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0），且x₁＜1＜x₂。
（1）求A、B两点的坐标（用a表示）；
（2）设抛物线的顶点为C，求△ABC的面积；
（3）若a是整数，P为线段AB上的一个动点（P点与A、B两点不重合），在x轴上方作等边△APM和等边△BPN，记线段MN的中点为Q，求抛物线的解析式及线段PQ的长的取值范围。

Answer 1

解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）， ∴x1、x2是关于x的方程-的解， 方程可简化为x2+2（a-1）x+（a2-2a）=0， 解方程，得x=-a或x=-a+2， ∵x1＜x2，-a＜-a+2， ∴x1=-a，x2=-a+2， ∴A、B两点的坐标分别为A（-a，0），B（-a+2，0）； （2）∵AB=2，顶点C的纵坐标为， ∴△ABC的面积等于； （3）x1＜1＜x2， ∴-a＜1＜-a+2， ∴-1＜a＜1， ∵a是整数， ∴a=0，所求抛物线的解析式为y=-， 此时顶点C的坐标为，如图，作CD⊥AB于D，连结CQ， 则AD=1， ∴∠BAC=60°， 由抛物线的对称性可知△ABC是等边三角形， 由△APM和△BPN是等边三角形，线段MN的中点为Q可得，点 M、N分别在AC和BC边上，四边形PMCN为平行四边形，C、Q、 P三点共线，且， ∵点P在线段AB上运动的过程中，P与A、B两点不重合， ∴。