Question

（2013•宝安区二模）如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，连接DF，且P是线段DF的中点，连接PG，PC．
（1）如图1中，PG与PC的位置关系是

CP⊥GP

，数量关系是

CP=GP

；
（2）如图2将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“矩形ABCD和矩形BEFG”其它条件不变，求证：PG=PC；
（3）如图3，若将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“菱形ABCD和菱形BEFG”，点A，B，E在同一条直线上，连接DF，P是线段DF的中点，连接PG、PC，且∠ABC=∠BEF=60°，求

PG

PC

的值．

Answer 1

分析：（1）延长GP交DC于点H，由条件可以得出△DHP≌△FGP，就可以得出DH=GF，PH=PG，根据正方形的性质就可以得出HC=GC，从而由等腰直角三角形的性质可以得出结论；
（2）如图2，延长GP交DC于点H，由条件可以得出△DHP≌△FGP，根据直角三角形的性质就可以得出结论；
（3）如图2，延长GP交DC于点H，由条件可以得出△DHP≌△FGP，根据菱形的性质可以得出△HCG是等腰三角形，由菱形的内角和可以求出∠PCG=60°，由特殊角的三角函数值就可以求出结论．

解答：解：（1）PG⊥PC且PG=PC；
理由：如图1，延长GP交DC于点H，
∵四边形ABCD和BEFG是正方形，
∴DC=BC，BG=GF，∠FGB=∠GCD=∠DCB=90°，
∴CD∥GF，
∴∠CDP=∠GFP．
∵P是线段DF的中点，
∴DP=FP．
∵在△DHP和△FGP中，

∠CDP=∠GFP DP=FP ∠DPH=∠FPG

，
∴△DHP≌△FGP（ASA），
∴DH=FG，PH=PG，
∴HC=GC，
∴△HCG是等腰直角三角形，
∵PH=PG
∴PG⊥PC且PG=PC．

（2）如图2，延长GP交DC于点H，
∵四边形ABCD和BEFG是矩形，
∴FGB=∠GCD=∠DCB=90°，
∴CD∥GF，
∴∠CDP=∠GFP．
∵P是线段DF的中点，
∴DP=FP．
∵在△DHP和△FGP中，

∠CDP=∠GFP DP=FP ∠DPH=∠FPG

，
∴△DHP≌△FGP（ASA），
∴PH=PG=

1

2

HG，
∵∠DCB=90°，
∴△HCG是直角三角形，
∴CP=

1

2

HG，
∴PG=PC；

（3）如图3，延长GP交CD于H，
∵P是DF的中点，
∴DP=FP．
∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，点A，B，E在同一条直线上，
∴DC∥GF，
∴∠HDP=∠GFP．
∵在△DHP和△FGP中，

∠CDP=∠GFP DP=FP ∠DPH=∠FPG

，
∴△DHP≌△FGP（ASA），
∴HP=GP   DH=FG         
∵CD=CB，FG=GB
∴CD-DH=CB-FG
即：CH=CG
∴△HCG是等腰三角形，
∴PC⊥PG∠HCP=∠GCP（等腰三角形三线合一） 
∴∠CPG=90°．
∵∠ABC=60°，
∴∠DCB=120°，
∴∠GCP=

1

2

∠DCB=60°，
∴Rt△CPG中：

PG

PC

=tan60°=

3

．
故答案为：PG⊥PC，PG=PC．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，矩形的性质的运用，菱形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，特殊角的三角函数值的运用．解答时证明三角形全等是解答本题的关键．