Question

5．已知：在△ABC中，AB=AC．
（1）特殊情形：如图1，当DE∥BC时，求证：DB=EC．
（2）发现探究：若将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）实际运用：如图3，某小区在A、B、C三幢楼之间有一片等腰直角三角形的绿地，为了方便居民之间的沟通和休闲，决定在绿地上建造一个休闲亭P，使它到A楼的距离为30m，到B楼的距离为10m，到C楼的距离为20m．建好后，住在该小区的初二学生小明通过计算得到∠BPC刚好等于135°，聪明的你知道为什么吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由DE∥BC，得到 $\frac{DB}{AB}$=$\frac{EC}{AC}$，结合AB=AC，得到DB=EC；
（2）由旋转得到的结论判断出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；
（3）由旋转构造出△CPB≌△CEA，再用勾股定理计算出PE，然后用勾股定理逆定理判断出△PEA是直角三角形，在简单计算即可．

解答 （1）证明：如图1中，

∵DE∥BC，
∴$\frac{DB}{AB}$=$\frac{EC}{AC}$，
∵AB=AC，
∴DB=EC，

（2）解：成立．
理由：如图2中，

由①易知AD=AE，
∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，
在△DAB和△EAC中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠DAB=∠EAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△DAB≌△EAC，
∴DB=CE，

（3）如图，

将△CPB绕点C旋转90°得△CEA，连接PE，
∴△CPB≌△CEA，
∴CE=CP=20，AE=BP=10，∠PCE=90°，
∴∠CEP=∠CPE=45°，
在Rt△PCE中，由勾股定理可得，PE=2 0$\sqrt{2}$，
在△PEA中，PE²=（2 0$\sqrt{2}$）²=800，AE²=10²=100，PA²=30²=900，
∵PE²+AE²=AP²，
∴△PEA是直角三角形
∴∠PEA=90°，
∴∠CEA=135°，
又∵△CPB≌△CEA
∴∠BPC=∠CEA=135°．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理，解本题的关键是构造全等三角形，也是本题的难点．