Question

如图①②，在平面直角坐标系中，边长为2的等边△CDE恰好与坐标系中的△OAB重合，现将△CDE绕边AB的中点G(G点也是DE的中点)，按顺时针方向旋转180°到△C1DE的位置．

(1)求C1点的坐标；
(2)求经过三点O、A、C1的抛物线的解析式；
(3)如图③，⊙G是以AB为直径的圆，过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F，求切线BF
的解析式；
(4)抛物线上是否存在一点M，使得．若存在，请求出点M的坐标；
若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）C1(3，)
（2）a＝，b＝－
（3）y＝x＋
（4）M1(4，)，M2(－2，)，理由略解析:
(1)C1(3，)
(2)∵抛物线过原点O(0，0)，设抛物线解析式为y＝ax2＋bx
把A(2，0)，C`(3，)带入，得 
解得a＝，b＝－
∴抛物线解析式为y＝x2－x
(3)∵∠ABF＝90°，∠BAF＝60°，∴∠AFB＝30°
又AB＝2   ∴AF＝4   ∴OF＝2      ∴F(－2，0)
设直线BF的解析式为y＝kx＋b
把B(1，)，F(－2，0)带入，得   解得k＝，b＝
∴直线BF的解析式为y＝x＋
(4)①当M在x轴上方时，存在M(x，x2－x)
S△AMF：S△OAB＝[×4×(x2－x)]：[×2×4]＝16：3
得x2－2x－8＝0，解得x1＝4，x2＝－2
当x1＝4时，y＝×42－×4＝；
当x1＝－2时，y＝×(－2)2－×(－2)＝
∴M1(4，)，M2(－2，)
②当M在x轴下方时，不存在，设点M(x，x2－x)
S△AMF：S△OAB＝[－×4×(x2－x)]：[×2×4]＝16：3
得x2－2x＋8＝0，b2－4ac＜0 无解
综上所述，存在点的坐标为M1(4，)，M2(－2，)