Question

【题目】如图，已知抛物线与轴交于，且点，与轴交于点，其对称轴为直线．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）若在轴上方的抛物线上有点，使的内心恰好在轴上，求此时的面积；

（3）在直线上方的抛物线上有一动点，过作轴，垂足为是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）4；（3）存在，点为．

【解析】

（1）将点A、B的坐标代入并结合对称轴公式即可求出二次函数的解析式；

（2）根据三角形内心的性质可得x轴平分，设交轴于点，利用ASA证出△EBO≌△CBO，即可求出点E的坐标，然后根据对称性求出点B的坐标，利用待定系数法即可求出直线BD的解析式，联立方程即可求出点D的坐标，根据三角形中线的性质即可求出结论；

（3）设点的横坐标为，则点的纵坐标为：，然后根据点P的位置分类讨论，在每种情况下根据相似三角形的对应情况分类讨论，分别画出对应的图形，根据相似三角形的性质即可求出结论．

解：（1）由题意可得

解得：

∴这条抛物线的解析式为；

（2）的内心在轴上，

轴平分，设交轴于点，

∴∠EBO=∠CBO，

∵BO=BO，∠BOE=∠BOC=90°

∴△EBO≌△CBO

∴OE=OC=2

则，

∵，抛物线的对称轴为直线

∴点B的坐标为（4，0）

设直线BD的解析式为

将点B和点E的坐标代入，得

解得：

所以直线为，

联立

解得：或，其中（4,0）为点B的坐标

，

∴此时为的中点，

．

（3）存在，设点的横坐标为，则点的纵坐标为：

当时，，

，

①当时，

∴

即，

解得， （舍去），

；

②当时，

，

即，

解得， （均不合题意，舍去），

当0＜时，

③∵∠OAC＞∠OBC＞∠MBO

∴不存在点P，使

④当时，

解得：解得， （均不合题意，舍去），

综上所述，符合条件的点为．