Question

如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点为D、E、F，半径为r，∠C＝90°，AB、BC、AC的长分别为c、a、b，求证：．

Answer 1

答案：
解析：

连结OD、OE、OF，则OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC． ∴四边形CDOF为正方形，CF＝CD＝DO＝OF＝r． 由O是内心，得∠1＝∠2． 在Rt△AOF和Rt△AOE中， ∵∠1＝∠2，∠AFO＝∠AEO＝90°，AF＝AE， ∴Rt△AOF≌Rt△AOE． ∴AF＝AE． 同理可证BD＝BE． ∵AF＝AC－CF＝b－r，BD＝BC－CD＝a－r， ∴AE＋BE＝AF＋BD＝b－r＋a－r＝AB＝c． ∴2r＝a＋b－c，即．

提示：

求证的结论是内切圆的半径为r与Rt△ABC的三边之间的关系，因此必须将r代换到△ABC的边上去．显然四边形CDOE是正方形，则CD＝CF＝r． 由AF＝b－r，BD＝a－r，不难看出AF＝AE，BD＝BE，因而b－r＋a－r＝c，问题得证．