Question

已知点E，F，G，H分別是四边形ABCD的边AB，BC，CD和DA的中点．
①四边形ABCD是平行四边形；
②四边形EFGH是矩形；
③AC=BD；
④AC⊥BD．
从①、②、③、④中选一个作为条件，一个作为结论，组成一个真命题，这个命题是

 

．

Answer 1

考点：中点四边形

专题：

分析：首先利用三角形的中位线定理证得四边形EFGH为平行四边形，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可．

解答：解：当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形；
证明：∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF=

1

2

AC，GH=

1

2

AC，
∴EF=GH，同理EH  FG
∴四边形EFGH是平行四边形；
又∵对角线AC、BD互相垂直，
∴EF与FG垂直．
∴四边形EFGH是矩形．
故答案为：当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形．

点评：本题考查了中点四边形的知识，解题的关键是灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判断及矩形的判断进行证明，是一道综合题．