Question

如图，一个边长分别为3cm、4cm、5cm的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD、DC上，那么这个正方形的面积是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：如图，由△BEF的三边为3、4、5，根据勾股定理逆定理可以证明其是直角三角形，利用正方形的性质可以证明△FDE∽△ECB，然后利用相似三角形的性质可以得到DE：CB=3：4，设DE为3x，则BC是4x，根据勾股定理即可求出x²=，也就求出了正方形的面积．
解答：如图，∵△BEF的三边为3、4、5，而3²+4²=5²，
∴△BEF为直角三角形，
∴∠FEB=90°，而四边形ABCD为正方形，
∴∠D=∠C=90°，
∴△FDE∽△ECB，
∴DE：CB=EF：EB，即DE：CB=3：4，
∴设DE为3x，则BC是4x，
∴EC是x，
∵三角形EBC为直角三角形，
∴EB²=EC²+BC²，
∴16=x²+（4x）²，
∴x²=，
∵S_{正方形ABCD}=（4x）²=cm²．
故选D．
点评：此题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理等知识，综合性比较强，对于学生的能力要求比较高．