Question

（2002•常州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，边AD，BC的延长线相交于点P，直线AE切⊙O于点A，且AB•CD=AD•PC，
求证：（1）△ABD∽△CPD；（2）AE∥BP．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知AB•CD=AD•PC，即，所以要证△ABD∽△CPD，只需证得两组对应边的夹角相等即可，而这组角可通过圆内接四边形的性质求得；
（2）在（1）的基础上，可求得∠ABD=∠P；根据弦切角定理可求得∠EAD=∠ABD，即∠EAD=∠P；内错角相等，可证得两直线平行．
解答：证明：（1）∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD=∠DCP．
又AB•CD=AD•PC，
∴．
∴△ABD∽△CPD．

（2）由（1）得∠ABD=∠P．
又AE为切线，AD为弦，
∴∠EAD=∠ABP，即∠P=∠EAD．
∴AE∥BP．
点评：本题主要考查了圆内接四边形的性质、切线的性质、相似三角形的判定和性质等知识的综合应用．