Question

（2011•历下区二模）如图①，矩形ABCD被对角线AC分为两个直角三角形，AB=4，BC=8．现将Rt△ADC绕点C顺时针旋转90°，点A旋转后的位置为点M，点D旋转后的位置为点N．以C为原点，以BC所在直线为x轴，以过点C垂直于BC的直线为y轴，建立如图②的平面直角坐标系．
（1）求直线AM的解析式；
（2）将Rt△MNC沿x轴的负方向平行移动，如图③．设OC=x（0＜x≤12），Rt△MNC与Rt△ABO的重叠部分面积为S；
①当x=2与x=10时，求S的值；
②S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据旋转的性质，求出A（-8，4），M（4，8）的坐标，再根据待定系数法求出一次函数解析式；
（2）①当x=1时，如图1，重叠部分为△POC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答；②当x=10时，如图2，重叠部分为梯形NQAB，根据梯形的面积公式解答；
（3）①显然，画图分析，从图中可以看出：当0＜x≤4与10＜x≤12时，不会出现s的最大值；
②当4＜x≤8时，由图3可知：当x=8时，s最大；
③当8＜x≤10时，如图4，表示出各三角形的面积，再将s表示为S_△OCN-S_△OFM-S_△BCG，转化为关于x的二次函数，根据二次函数的最值问题解答．

解答：解：（1）AB=4，BC=8，根据旋转的性质可得：A（-8，4），M（4，8），
设函数解析式为y=kx+b（k≠0），
把A（-8，4），M（4，8）分别代入解析式得：

-8k+b=4 4k+b=8

，
解得：

k= 1 3 b= 20 3

，
则直线AM解析式为y=

1

3

x+

20

3

；

（2）①当x=2时，如图1，重叠部分为△POC，
∵Rt△POC∽Rt△BOA，且S_△AOB=

1

2

AB•OB=16，OC=2，OA=

AB2+OB2

=4

5

，
∴

S

S△AOB

=（

OC

OA

）²，即

S

16

=（

2

4 5

）²=

1

20

，
解得：S=

4

5

；
②当x=10时，如图2，重叠部分为梯形NQAB，

可得：ON=OC-CN=10-4=6，BN=OB-ON=8-6=2，
又∵△ONQ∽△OBA，
∴

NQ

AB

=

ON

OB

，即

NQ

4

=

6

8

，
∴NQ=3，
∴S=

1

2

（QN+AB）•BN=

1

2

×（3+4）×2=7；

（3）如图所示：

①显然，画图分析，从图中可以看出：当0＜x≤4与10＜x≤12时，不会出现S的最大值；
②当4＜x≤8时，由图3可知：当x=8时，S最大，
∵△OBF∽△OAB，
∴

OB

OA

=

BF

AB

=

OF

OB

，即

8

4 5

=

BF

4

=

OF

8

，
∴BF=

8 5

5

，OF=

16 5

5

，
又∵△OEN∽△OAB，且ON=OB-BN=8-4=4，
∴

ON

OB

=

EN

AB

，即

4

8

=

EN

4

，
∴EN=2，
此时S_△OBF=

1

2

BF•OF=

64

5

，S_△OEN=

1

2

EN•ON=4，
∴S=S_△OBF-S_△OEN=

64

5

-4=

44

5

；
③∵当8＜x≤10时，如图4，S_△OCF=

x2

5

，S_△OEN=

(x-4)2

4

，S_△BCG=（x-8）²，
∴S=S_△OCF-S_△OEN-S_△BCG=

x2

5

-

(x-4)2

4

-（x-8）²=-

21

20

x²+18x-68=-

21

20

（x-

60

7

）²+

64

7

，
当x=

60

7

时，S最大值为

64

7

．
综上，当x=8时，S最大值为

44

5

；当x=

60

7

时，S最大值为

64

7

．

点评：此题考查了相似形综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，二次函数的性质，