题目内容
【题目】在平面直角坐标系中，如果点
的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点，例如点
，
，
，…都是和谐点，若二次函数
的图象上有且只有一个和谐点
，当
时，函数
的最小值为
，最大值为
，则
的取值范围是________．
【答案】
【解析】
根据和谐点的概念令ax2＋4x＋c＝x，即ax2＋3x＋c＝0，由题意，△＝324ac＝0，即4ac＝9，方程的根为
＝
，从而求得a＝1，c＝
，所以函数y＝ax2＋4x＋c
＝x2＋4x3，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据y的取值，即可确定x的取值范围．
令ax2＋4x＋c＝x，即ax2＋3x＋c＝0，
由题意，△＝324ac＝0，即4ac＝9，
又方程的根为＝，
解得a＝1，c＝．
故函数y＝ax2＋4x＋c34＝x2＋4x3，
如图，该函数图象顶点为（2，1），与y轴交点为（0，3），由对称性，该函数图象也经过点（4，3）．
由于函数图象在对称轴x＝2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当0≤x≤m时，函数y＝x2＋4x3的最小值为3，最大值为1，
∴2≤m≤4，
故答案为：2≤m≤4．
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