Question

如图，I为△ABC的内心，△ABC的外接圆O，O在BC上，AD、BE、CF都经过I点分别交⊙O于点D、E、F，EF交AB于点G，交AC于点H，IM⊥BC于M．则下列结论：①EF⊥AD；②AB+AC-BC=

2

AI；
③AD=

2

（IM+

1

2

BC）；④S_△BIC：S_△EFI的值随A点位置变化而变化．其中正确的是（　　）

• A、①②④
• B、①②
• C、①②③
• D、③④

Answer 1

分析：根据内心的定义得到∠ABE=∠CBE，∠ACF=∠BCF，∠BAD=∠CAD，求出∠EAD+∠AEF=90°即可判断①；求出三角形内切圆的半径是

1

2

（AC+AB-BC），根据勾股定理求出AI=

2

IH即可判断②；求出AD=AI+ID=

2

2

（AC+AB），求出

2

（IM+

1

2

BC）=

2

2

（AC+AB），即可判断③；根据相似三角形的性质即可判断④．

解答：解：∵I为△ABC的内心，
∴∠ABE=∠CBE，∠ACF=∠BCF，∠BAD=∠CAD，
∴弧AE+弧AF+弧CD=180°，
∴∠AGF=∠EAD+∠AEF=90°，∴①正确；
∵O在BC上，
∴∠BAC=90°，
∵I是△ABC的内心，
∴CM=BM，CQ=CM，BM=BH，
∴∠IQA=∠CAB=∠IHA=90°，IQ=IH，
∴四边形QIHA是正方形，
∴IQ=AQ=AI=IH，
∴AC-IH+AB-IH=BC，
∴IH=

1

2

（AC+AB-BC），
由勾股定理得：AI=

2

IH，
∴②正确；
AD=AI+ID=

1

2

（AC+AB-BC）+

2

2

BC，
=

2

2

AC+

2

2

AB，

2

（IM+

1

2

BC）=

2

[

1

2

（AC+AB-BC）+

1

2

BC]=

2

2

AC+

2

2

AB，
∴③正确；
∵∠F=∠EBC，∠FEI=∠ICM，
∴△EFI∽△CBI，
∴

S△BIC

S△EIF

=(

BC

EF

)2，
∵BC一定，
∴④错误；
故选C．

点评：本题主要考查对三角形的内切圆与内心，三角形的外角性质，相似三角形的性质，圆周角定理，切线长定理，正方形的性质和判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．