Question

11．把一张圆形纸片和一张含45°角的扇形纸片如图所示的方式分别剪得一个正方形，如果所剪得的两个正方形边长都是1，那么圆形纸片和扇形纸片的面积比是（　　）

• A． 4：5
• B． 2：5
• C． $\sqrt{5}$：2
• D． $\sqrt{5}$：$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 首先分别求出扇形和圆的半径，再根据面积公式求出面积，最后求出比值即可．

解答 解：如图1，连接OD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=1，
∵∠AOB=45°，
∴OB=AB=1，
由勾股定理得：OD=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴扇形的面积是$\frac{45π×（\sqrt{5}）^{2}}{360}$=$\frac{5}{8}$π；
如图2，连接MB、MC，
∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形，
∴∠BMC=90°，MB=MC，
∴∠MCB=∠MBC=45°，
∵BC=1，
∴MC=MB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴⊙M的面积是π×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=$\frac{1}{2}$π，
∴扇形和圆形纸板的面积比是$\frac{5}{8}$π÷（$\frac{1}{2}$π）=$\frac{5}{4}$，
即圆形纸片和扇形纸片的面积比是4：5．
故选A．

点评 本题考查了正方形性质，圆内接四边形性质，扇形的面积公式的应用，解此题的关键是求出扇形和圆的面积，题目比较好，难度适中．