Question

【题目】如图，在中，，是上一点，以为圆心为半径的圆与交于点，与交于点，连接、、，且．

求证：是的切线；

若，求的半径．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）2.

【解析】

（1）先由OD=OE，利用等边对等角可得∠2=∠3，再利用DE∥OC；进而利用平行线的性质，可得∠3=∠4，∠1=∠2，等量代换可得∠1=∠4；再结合OB=OD，OC=OC，利用SAS可证△DOC≌△BOC，那么∠CDO=∠CBO，而∠ABC=90°，于是∠CDO=90°，即CD是 O的切线；
（2）由（1）可知∠2=∠4，而∠CDO=∠BDE=90°，易证△CDO∽△BDE，可得比例线段，OD：DE=OC：BE，又BE=2OD，可求OD．

证明：连接，

∵，

∴，

又∵，

∴，，

∴；

在和中，，，，

∴，

∴；

∵，

∴，

∴是的切线；

∵是直径，

∴，

在和中，，，

∴，

∴；

又∵，

∴，

∴．