Question

如图，在正方形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，且AB=4AM，BC=BN．
（1）△ADM和△BMN相似吗？并说明理由．
（2）求∠DMN的度数．

Answer 1

解：（1）△ADM和△BMN相似，
∵在正方形ABCD中，且AB=4AM，BC=BN，
∴AB=AD=BC，∠DAM=∠MBN=90°
∴=4，AB=BM，
∵△MBN∽△DAM，
∴==4，
∴=4，==4，即==4，
又∵∠DAM=∠MBN=90，
∴△ADM∽△BMN；

（2）由（1）得∠ADM=∠BMN，
又∵在Rt△ADM中，∠ADM+∠AMD=90°，
∴∠BMN+∠AMD=90°，
∴∠DMN=90°．
分析：（1）由已知AB=4AM，BC=BN，推出=4，AB=BM，=4，==4，所以△ADM和△BMN相似；
（2）由（1）中△ADM和△BMN相似，推出∠ADM=∠BMN，再由Rt△ADM中，∠ADM+∠AMD=90°得∠BMN+∠AMD=90°，从而得出∠DMN=90°．
点评：此题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，关键是由已知AB=4AM，BC=BN．推出==4，即==4；再由三角形相似得出∠ADM=∠BMN，推出∠BMN+∠AMD=90°．