Question

如图，△ABC是等边三角形，∠DAE=120°，求证：（1）△ABD∽△ECA；（2）BC²=DB•CE．

Answer 1

证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∠DAE=120°，
∴∠DAB+∠CAE=60°，
∵∠ABC是△ABD的外角，
∴∠DAB+∠D=∠ABC=60°，
∴∠CAE=∠D，
∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ABD=∠ACE=120°，
∴△ABD∽△ECA；

（2）∵△ABD∽△ECA，
∴=，即AB•AC=BD•CE，
∵AB=AC=BC，
∴BC²=BD•CE．
分析：（1）由△ABC是等边三角形，∠DAE=120°可知∠DAB+∠CAE=60°，再由三角形外角的性质可知∠DAB+∠D=∠ABC=60°，故∠CAE=∠D，再由∠ABC=60°，∠ACB=60°可知，∠ABD=∠ACE=120°，故可得出△ABD∽△ECA；
（2）由（1）中△ABD∽△ECA可知=，即AB•AC=BD•CE，故可得出结论．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质及三角形外角的性质，根据题意判断出△ABD∽△ECA是解答此题的关键．