Question

【题目】如图，在半⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE，CB于点P，Q，连接AC，关于下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AC2=CQCB，其中结论正确的是______．

Answer 1

【答案】②③④．

【解析】

由于弧AC与弧BD不一定相等，根据圆周角定理可知①错误，选项①错误；连接BD，由GD为圆O的切线，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到∠GDP=∠ABD，再由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB为直角，由CE垂直于AB，得到∠AFP为直角，再由一对公共角，得到三角形APF与三角形ABD相似，根据相似三角形的对应角相等可得出∠APF等于∠ABD，根据等量代换及对顶角相等可得出∠GPD=∠GDP，利用等角对等边可得出GP=GD，选项②正确；由直径AB垂直于弦CE，利用垂径定理得到A为弧CE的中点，得到两条弧相等，再由C为弧AD的中点，得到两条弧相等，等量代换得到三条弧相等，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP=∠ACP，利用等角对等边可得出AP=CP，又AB为直径得到∠ACQ为直角，利用等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC，得出CP=PQ，即P为直角三角形ACQ斜边上的中点，即为直角三角形ACQ的外心，选项③正确；利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，得到三角形ACQ与三角形ABC相似，根据相似得比例得到AC2=CQCB，选项④正确.

解：∵在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，

∴弧AC=弧CD≠弧BD，

∴∠BAD≠∠ABC，选项①错误；

连接BD，如图所示：

∵GD为圆O的切线，

∴∠GDP=∠ABD，

又AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，

∵CE⊥AB，∴∠AFP=90°，

∴∠ADB=∠AFP，又∠PAF=∠BAD，

∴△APF∽△ABD，

∴∠ABD=∠APF，又∠APF=∠GPD，

∴∠GDP=∠GPD，

∴GP=GD，选项②正确；

∵直径AB⊥CE，

∴A为弧CE的中点，即弧AE=弧AC，

又C为弧AD的中点，

∴弧AC=弧CD，

∴弧AE=弧CD，

∴∠CAP=∠ACP，

∴AP=CP，

又AB为圆O的直径，∴∠ACQ=90°，

∴∠PCQ=∠PQC，

∴PC=PQ，

∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，

∴P为Rt△ACQ的外心，选项③正确；

连接CD，如图所示：

∵弧AC=弧CD，

∴∠B=∠CAD，

又∵∠ACQ=∠BCA，

∴△ACQ∽△BCA，

∴=，即AC2=CQCB，选项④正确，

综上可知正确的选项序号有②③④，

故答案为：②③④．