Question

如图，已知⊙O₁与⊙O₂都过点A，AO₁是⊙O₂的切线，⊙O₁交O₁O₂于点B，连接AB并延长交⊙O₂于点C，连接O₂C．如果AB•BC=16，O₂C=5，则tan∠AO₁O₂的值为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：延长O₂O₁交⊙O₁于点D，连接AD，由题意可知三角形AO₁O₂为直角三角形，所以要求tan∠AO₁O₂的值只要求出AO₁的值问题得解．
解答：延长O₂O₁交⊙O₁于点D，连接AD．
∵O₁A为切线，
∴∠O₁AB+∠BAO₂=90°，
又∵AO₂=O₂C，
∴∠BAO₂=∠C，
又∵AO₁=BO₁，
∴∠O₁AB=∠ABO₁=∠CBO₂，
∴∠CBO₂+∠C=90°，
∴∠BO₂C=90°，
∴O₂C⊥O₁O₂；
∵BD是⊙O₁直径，
∴∠BAD=90°．
∵∠BO₂C=90°，
∴∠BAD=∠BO₂C，又∠ABD=∠O₂BC，
∴△O₂BC∽△ABD，
，
∴AB•BC=O₂B•BD又BD=2BO₁，
∴AB•BC=2O₂B•BO₁．
∵∠D=∠C=∠O₂AB，即∠D=∠O₂AB，又∠AO₂B=∠DO₂A，
∴△AO₂B∽△DO₂A，
∴，
∴AO²₂=O₂B•O₂D，
∵O₂C=O₂A，
∴O₂C²=O₂B•O₂D①，
又∵AB•BC=O₂B•BD②，
由①-②得O₂C²-AB•BC=O₂B²即5²-16=O₂B²，
∴O₂B=3又O₂B•BD=AB•BC=16，
∴BD=，
∴2AO₁=BD=，
∴AO₁=，
∴tan∠AO₁O₂===，
故选A．
点评：本题主要考查了两圆相交的性质、切线的性质、相似三角形的判定和相似三角形的性质，此题比较繁琐，综合性很强，做题时应该细心．