Question

一个四位数具有这样的性质：用它的后两位数去除这个四位数得到一个完全平方数（如果它的十位数字是零，就只用个位数去除），且这个完全平方数正好是前两位数加1的平方．例如4802÷2=2401=49²=（48+1）²．则具有上述性质的最小四位数是

 

．

Answer 1

分析：设原数是ABCD，先将AB及CD看作一个未知数，然后利用题设中的条件可得出关于AB及CD的方程，利用方程根的知识可得出AB及CD的值，继而可得出答案．

解答：解：设原数是ABCD，
则：

ABCD

CD

=（AB+1）²，AB，CD这里先各当一个未知数看，
（AB+1）²=AB²+2AB+1=

AB00

CD

+1，
AB²+（2-

100

CD

）AB=0，
AB（AB+2-

100

CD

）=0的根是（AB+2）=

100

CD

，
则（AB+2）CD=100，
即CD、AB+2都是100的约数，4，5，10，20，25，
因为是四位数，则：AB+2只能是20或25，
最小当然是20，CD=5，
因此，结果是1805．
故答案为：1805．

点评：本题考查完全平方数及整数的奇偶性的知识，难度较大，关键是利用题设中的条件得出关于AB及CD的方程．