Question

【题目】如图，矩形中，为原点，点在轴上，点在轴上，点的坐标为（4,3），抛物线与轴交于点，与直线交于点，与轴交于两点.

（1）求抛物线的表达式；

（2）点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动，与此同时，点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.连接，设运动时间为（秒）.

①当为何值时，得面积最小？

②是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）① ；②

【解析】

（1）根据点B的坐标可得出点A，C的坐标，代入抛物线解析式即可求出b，c的值，求得抛物线的解析式；

（2）①过点Q、P作QF⊥AB、PG⊥AC，垂足分别为F、G，推出△QFA∽△CBA，△CGP∽△CBA，用含t的式子表示OF，PG，将三角形的面积用含t的式子表示出来，结合二次函数的性质可求出最值；②由于三角形直角的位置不确定，需分情况讨论，根据点的坐标，再结合两点间的距离公式用勾股定理求解即可．

解：（1）由题意知：A(0,3),C(4,0)，

∵抛物线经过A、B两点，

∴，解得，，

∴抛物线的表达式为：．

(2)① ∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=90O， ∴AC2=AB2+BC2=5；

由，可得，∴D（2,3）．

过点Q、P作QF⊥AB、PG⊥AC，垂足分别为F、G，

∵∠FAQ=∠BAC， ∠QFA=∠CBA，

∴△QFA∽△CBA．

∴，

∴．

同理：△CGP∽△CBA，

∴∴，∴，

当时，△DPQ的面积最小.最小值为．

② 由图像可知点D的坐标为(2,3)，AC=5,直线AC的解析式为：．

三角形直角的位置不确定，需分情况讨论：

当时，根据勾股定理可得出：

，

整理，解方程即可得解；

当时，可知点G运动到点B的位置，点P运动到C的位置，所需时间为t=3；

当时,同理用勾股定理得出：

；

整理求解可得t的值．

由此可得出t的值为：,,,,．