Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，在AB的两侧有定点C和动点P，AB=5，AC=3．点P在

AB

上运动（点P不与A，B重合），CP交AB于点D，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．
（1）求∠P的正切值；
（2）当CP⊥AB时，求CD和CQ的长；
（3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）先根据圆周角定理得出∠ACB=90°，由勾股定理求出BC的长，再根据圆周角定理得出∠A=∠P，由锐角三角函数的定义即可得出结论；
（2）三角形的面积公式求出∠A的正切值，故可得出CD的长，再由垂径定理求出PC的长，由（1）中∠P的正切值即可得出CQ的长；
（3）由相似三角形的性质可得出△ABC∽△PQC，故可得出

AC

BC

=

PC

CQ

，故可得出CQ=

BC•PC

AC

=

4

3

PC，故当PC是⊙O的直径时CQ取得最大值，再把AB的长代入进行计算即可．

解答：解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=5，AC=3，
∴BC=

AB2-AC2

=

52-32

=4，
∴tan∠A=

BC

AC

=

4

3

，
∵∠A与∠P是同弧所对的圆周角，
∴tan∠P=tan∠A=

4

3

；

（2）∵Rt△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，CD⊥AB，
∴CD=

AC•BC

AB

=

3×4

5

=

12

5

，
∵AB⊥CD，
∴PC=2CD=2×

12

5

=

24

5

，
∴CQ=PC•tan∠P=

24

5

×

4

3

=

32

5

；

（3）∵PC⊥CQ，
∴∠PCQ=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠PCQ=∠ACB=90°，
∵∠A=∠P，
∴△ABC∽△PQC，
∴

AC

BC

=

PC

CQ

，
∴CQ=

BC•PC

AC

=

4

3

PC，
∴当PC是⊙O的直径时CQ最长，
∴CQ_最长=

4

3

×5=

20

3

．

点评：本题考查的是圆的综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及圆周角定理等知识，难度适中．