题目内容
如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.
（1）求AD的长；
（2）设CP=x，问当x为何值时△PDQ的面积达到最大，并求出最大值；
（3）探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由.
（1）解法一：如图1,过A作AE⊥CD，垂足为E .
依题意，DE=
.
在Rt△ADE中，AD=
.
解法二：如图2,过点A作AE∥BC交CD于点E，则CE=AB=4
∠AED=∠C=60°.
又∵∠D=∠C=60°，
∴△AED是等边三角形 .
∴AD=DE=9－4=5 .
（2）解：如图1,
∵CP=x，h为PD边上的高,依题意，△PDQ的面积S可表示为：
S=
PD?h
=(9－x)?x?sin60°
=
(9x－x2)
=－(x－
)2＋
.
由题意，知0≤x≤5 .
当x=时（满足0≤x≤5），S最大值=.
（3）证法一：如图3,假设存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ .
于是9－x=x，x=.
此时，点P、Q的位置如图3所示，连QP .△PDQ恰为等边三角形 .
过点Q作QM∥DC，交BC于M，点M即为所求.连结MP，以下证明四边形PDQM是菱形 .
易证△MCP≌△QDP，∴∠D=∠3 . MP=PD
∴MP∥QD , ∴四边形PDQM是平行四边形 .
又MP=PD , ∴四边形PDQM是菱形 .
所以存在满足条件的点M，且BM=BC－MC=5－=.
证法二：如图4,假设存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ .
于是9－x=x，x=.
此时，点P、Q的位置如图4所示，△PDQ恰为等边三角形 .
过点D作DO⊥PQ于点O，延长DO交BC于点M，连结PM、QM，则DM垂直平分PQ，∴ MP=MQ .
易知∠1=∠C .
∴PQ∥BC .
又∵DO⊥PQ， ∴MC⊥MD
∴MP= CD=PD
即MP=PD=DQ=QM
∴四边形PDQM是菱形
所以存在满足条件的点M，且BM=BC－MC=5－=
名师金手指领衔课时系列答案
14、如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，BD平分∠ABC，若梯形ABCD的周长为40cm，则CD的长为（ ）
24、已知：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC．
（2007•昌平区二模）已知：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，BD=
如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线BD平分∠ABC，且BD⊥DC，上底AD=3cm．
如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，BD平分∠ABC，BD⊥DC，延长BC到E，使CE=AD．