题目内容

如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3， $数学公式$ ），点C的坐标为（ $数学公式$ ，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
2 $数学公式$

B
分析：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，求出AM，求出AD，求出DN、CN，根据勾股定理求出CD，即可得出答案．
解答：

解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，
则此时PA+PC的值最小，
∵DP=PA，
∴PA+PC=PD+PC=CD，
∵B（3， $\text{[math]}$ ），
∴AB= $\text{[math]}$ ，OA=3，∠B=60°，由勾股定理得：OB=2 $\text{[math]}$ ，
由三角形面积公式得： $\text{[math]}$ ×OA×AB= $\text{[math]}$ ×OB×AM，
∴AM= $\text{[math]}$ ，
∴AD=2× $\text{[math]}$ =3，
∵∠AMB=90°，∠B=60°，
∴∠BAM=30°，
∵∠BAO=90°，
∴∠OAM=60°，
∵DN⊥OA，
∴∠NDA=30°，
∴AN= $\text{[math]}$ AD= $\text{[math]}$ ，由勾股定理得：DN= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∵C（ $\text{[math]}$ ，0），
∴CN=3- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1，
在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即PA+PC的最小值是 $\text{[math]}$ ，
故选B．
点评：本题考查了三角形的内角和定理，轴对称-最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置，题目比较好，难度适中．