Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACB=45°，∠ABC=120°，⊙O的半径为1，
（1）求弦AC、AB的长；
（2）若P为CB的延长线上一点，试确定P点的位置，使PA与⊙O相切，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求AC，可在△AOC中求解，求AB，可在△AOB中求解．?
（2）要确定P的位置，只需求PB，可在△APB中求解，过P作PE⊥AB，则将斜三角形分解为直角三角形
解答：解：（1）过O作OE⊥AC于E，?
∵∠ABC=120°，则∠AOC=120°．?
又OA=OC，?
∴∠OAD=∠OCD=30°．?
在Rt△AOD中，cos∠OAD=，又OA=1，?
∴AD=OA•cos30°=．∴AC=2AD=．?
在△AOB中，OA=OB=1，∠AOB=2∠ACB=90°，∴AB=．?

（2）过P作PE⊥AB于E，设BE=a，?
∵∠ABP=180°-∠ABC=60°，?
∴∠BPE=30°．∴BP=2BE=2a．?
在Rt△BPE中，PE=．?
∵PA切⊙O于A，∴∠OAP=90°．?
∵∠OAB=45°，∴∠PAE=45°．?
在Rt△PAE中，AE=PE=，?
又∵AE+EB=AB=，?
∴，
解．?
∴PB=2a=．
点评：本题考查了切线的判定和性质，从三角形中着手而解得，第二步可以可在△APB中求解，过P作PE⊥AB，则将斜三角形分解为直角三角形从而证得．