题目内容

已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=∠D，点E、F分别在 BC、CD上，且∠AEF=∠ACD，试探究AE与EF之间的数量关系。
（1）如图所示①，若AB=BC=AC，则AE与EF之间的数量关系为____；
（2）如图所示②，若AB=BC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想，并加以证明； （3）如图所示③，若AB=kBC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想，并加以证明。
解：（1）AE与EF之间的数量关系为AE=EF；
（2）猜想：（1）中得到的结论没有发生变化，
如图①，过点E作EH∥AB交AC于点H，则∠BAC+∠1=180°，∠BAC=∠2，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠3，
∴∠2=∠3，
∴EH=EC，
∵AD∥BC，
∴∠D+∠DCB=180°，
∵∠BAC=∠D，
∴∠1=∠DCB=∠ECF，
∵∠4=∠5，∠AEF=∠ACF，
∴∠6=∠7，
∴△AEH≌△FEC，
∴AE=EF；
（3）猜想：AE=kEF，
如图②，过点E作EH //AB，交AC于点H，
则△HEC∽△ABC，
∴，
∴=k，
同（2）可证∠AHE=∠FCE，∠EAH=∠CFE，
∴△AEH∽△FEC，
∴=k，
即AE=kEF。
            ②
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