Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点抛物线的对称轴是直线与轴的交点为点且经过点两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点为抛物线对称轴上一动点，当的值最小时，请你求出点的坐标；

（3）抛物线上是否存在点，过点作轴于点使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在；或或或

【解析】

（1）由直线可得B、C两点的坐标，根据二次函数的对称轴求得A点坐标，可设抛物线的解析式为，将C点坐标代入可求得a，即可得抛物线的解析式；

（2）根据绝对值的性质得出的值最小时，点为BC的垂直平分线与直线的交点，求得BC垂直平分线的解析式，联立直线即可求得点；

（3）分四种情况进行讨论，设出N的坐标，根据相似三角形的对应边成比例的性质，求得N的横坐标与纵坐标的关系，然后联立抛物线解析式即可求解．

解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，

∴当y=0时，即，解得：x=4，则点B的坐标为，

当x=0时，，则点C的坐标为，

由二次函数的对称性可知：点与点关于直线对称，

∴点A的坐标为，

∵抛物线与轴的交点为点，

∴可设抛物线的解析式为，

又∵抛物线过点，

∴，解得：，

∴

∴抛物线的解析式为；

（2）如图1，连结CM、BM，作线段BC的垂直平分线分别交BC、直线于点，则N为BC中点；

由绝对值的性质可得：，

∴当的值最小时，即，则此时，

∴点M为与直线的交点，此时与重合，

设的解析式为：，

∵直线BC的解析式为：，

∴，解得：，则的解析式可化为：，

由得点N的坐标为，

将代入得：

，解得：，

∴，

将代入，得，即，

∴当的值最小时，点的坐标为，

（3）抛物线上存在点，使得以点为顶点的三角形与相似；

∵

∴，，，

∴，，

∵，

∴为直角三角形，，

∵轴，

∴，则，

如图2所示，分四种情况，点的坐标分别为，设点的坐标为，

①当点在x轴的上方，要使，则，

则此时点与点C重合，则此时点与点O重合，

则，满足题意，

∴此时点的坐标为；

②当点在x轴的上方，要使，则，

∴，即，代入抛物线的解析式得：

，化简得：，

解得：，（不符合题意，故舍去），

将代入抛物线解析式得：，

∴此时点的坐标为；

③当点在x轴的下方，要使，则，

∴，即，代入抛物线的解析式得：

，化简得：，

解得：，（不符合题意，故舍去），

将代入抛物线解析式得：，

∴此时点的坐标为；

④当点在x轴的下方，要使，则，

∴，即，代入抛物线的解析式得：

，化简得：，

解得：，（不符合题意，故舍去），

将代入抛物线解析式得：，

∴此时点的坐标为；

综上所述，抛物线存在点N的坐标为或或或使得以点为顶点的三角形与相似．