Question

已知抛物线，以M （-2，1）为直角顶点作该抛物线的内接直角三角形MAB（即M，A，B均在抛物线上），求证：直线AB过定点，并求出该定点坐标．

Answer 1

【答案】分析：将一次函数与二次函数组成方程组，得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系建立起系数与根的关系，又知两直线垂直，可得比例系数之积为-1，列出关于x、y的方程，利用根与系数的关系将方程转化为直线的解析式，再判断其所过定点．
解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的解析式为y=kx+b，
由得x²-4kx-4b=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，
∴，
…（3分），
∵AM⊥BM，
∴，
∴，
∴（y₁-1）（y₂-1）+（x₁+2）（x₂+2）=0…（5分），
∴x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+y₁y₂-（y₁+y₂）+1=0，
∴，
∴（b-3）²=4（k-1）²，
∴，
则b=2k+1或b=-2k+5，代入y=kx+b得，
∴，
∴，
∵x≠-2．
则直线AB的解析式为y=（x-2）k+5，且知过定点（2，5）．
点评：本题考查了一次函数与二次函数的性质及根与系数的关系，此题设计知识面广，各种知识错综复杂交织在一起，要有恒心和毅力并有足够的经验方可解答．