题目内容

(2013•遵义)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(4,-
23
),且与y轴交于点C(0,2),与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边).
(1)求抛物线的解析式及A,B两点的坐标;
(2)在(1)中抛物线的对称轴l上是否存在一点P,使AP+CP的值最小?若存在,求AP+CP的最小值,若不存在,请说明理由;
(3)以AB为直径的⊙M相切于点E,CE交x轴于点D,求直线CE的解析式.
分析:(1)利用顶点式求得二次函数的解析式后令其等于0后求得x的值即为与x轴交点坐标的横坐标;
(2)线段BC的长即为AP+CP的最小值;
(3)连接ME,根据CE是⊙M的切线得到ME⊥CE,∠CEM=90°,从而证得△COD≌△MED,设OD=x,在RT△COD中,利用勾股定理求得x的值即可求得点D的坐标,然后利用待定系数法确定线段CE的解析式即可.
解答:解:(1)由题意,设抛物线的解析式为y=a(x-4)2-
2
3
(a≠0)
∵抛物线经过(0,2)
∴a(0-4)2-
2
3
=2
解得:a=
1
6

∴y=
1
6
(x-4)2-
2
3

即:y=
1
6
x2-
4
3
x+2
当y=0时,
1
6
x2-
4
3
x+2=0
解得:x=2或x=6
∴A(2,0),B(6,0);

(2)存在,
如图2,由(1)知:抛物线的对称轴l为x=4,
因为A、B两点关于l对称,连接CB交l于点P,则AP=BP,所以AP+CP=BC的值最小
∵B(6,0),C(0,2)
∴OB=6,OC=2
∴BC=2
10

∴AP+CP=BC=2
10

∴AP+CP的最小值为2
10


(3)如图3,连接ME
∵CE是⊙M的切线
∴ME⊥CE,∠CEM=90°
由题意,得OC=ME=2,∠ODC=∠MDE
∵在△COD与△MED中
∠COA=∠DEM
∠ODC=∠MDE
OC=ME

∴△COD≌△MED(AAS),
∴OD=DE,DC=DM
设OD=x
则CD=DM=OM-OD=4-x
则RT△COD中,OD2+OC2=CD2
∴x2+22=(4-x)2
∴x=
3
2

∴D(
3
2
,0)
设直线CE的解析式为y=kx+b(k≠0),
∵直线CE过C(0,2),D(
3
2
,0)两点,
3
2
k+b=0
b=2

解得:
k=-
4
3
b=2

∴直线CE的解析式为y=-
4
3
x
+2;
点评:本题考查了二次函数的综合知识,特别是用顶点式求二次函数的解析式,更是中考中的常考内容,本题难度偏大.
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