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精英家教网抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点,交y轴于点C,已知抛物线的对称轴为x=1,B(3,0),C(0,-3),
(1)求二次函数y=ax2+bx+c的解析式;
(2)在抛物线对称轴上是否存在一点P,使点P到B、C两点距离之差最大?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由;
(3)平行于x轴的一条直线交抛物线于M、N两点,若以MN为直径的圆恰好与x轴相切,求此圆的半径.
分析:(1)根据抛物线过C点,可得出c=-3,对称轴x=1,则-
b
2a
=1,然后可将B点坐标代入抛物线的解析式中,联立由对称轴得出的关系式即可求出抛物线的解析式.
(2)本题的关键是要确定P点的位置,由于A、B关于抛物线的对称轴对称,因此可连接AC,那么P点就是直线AC与对称轴的交点.可根据A、C的坐标求出AC所在直线的解析式,进而可根据抛物线对称轴的解析式求出P点的坐标.
(3)根据圆和抛物线的对称性可知:圆心必在对称轴上.因此可用半径r表示出M、N的坐标,然后代入抛物线中即可求出r的值.
解答:精英家教网解:(1)将C(0,-3)代入y=ax2+bx+c,
得c=-3.
将c=-3,B(3,0)代入y=ax2+bx+c,
得9a+3b+c=0.(1)
∵直线x=1是对称轴,
-
b
2a
=1
.(2)(2分)
将(2)代入(1)得
a=1,b=-2.
所以,二次函数得解析式是y=x2-2x-3.

(2)AC与对称轴的交点P即为到B、C的距离之差最大的点.
∵C点的坐标为(0,-3),A点的坐标为(-1,0),
∴直线AC的解析式是y=-3x-3,
又∵直线x=1是对称轴,
∴点P的坐标(1,-6).

(3)设M(x1,y)、N(x2,y),所求圆的半径为r,
则x2-x1=2r,(1)
∵对称轴为直线x=1,即
x1+x2
2
=1,
∴x2+x1=2.(2)
由(1)、(2)得:x2=r+1.(3)
将N(r+1,y)代入解析式y=x2-2x-3,
得y=(r+1)2-2(r+1)-3.
整理得:y=r2-4.
由所求圆与x轴相切,得到r=|y|,即r=±y,
当y>0时,r2-r-4=0,
解得,r1=
1+
17
2
r2=
1-
17
2
(舍去),
当y<0时,r2+r-4=0,
解得,r1=
-1+
17
2
r2=
-1-
17
2
(舍去).
所以圆的半径是
1+
17
2
-1+
17
2
点评:本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、切线的性质、轴对称图形等知识点,综合性强,考查学生分类讨论,数形结合的数学思想方法.
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