题目内容
如图，在直角坐标系中，已知点A（-1，0）、B（0，2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC．
（1）点C的坐标为（ ， ）；
（2）若二次函数
的图象经过点C．
①求二次函数的关系式；
②当-1≤x≤4时，直接写出函数值y对应的取值范围；[来源:学_科_网Z_X_X_K]
③在此二次函数的图象上是否存在点P（点C除外），使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
(1) ∴点C的坐标为(－3，1) ．
(2)①∵二次函数
的图象经过点C(－3，1)，
∴
.解得
∴二次函数的关系式为
②当-1≤x≤4时，
≤y≤8；
③过点C作CD⊥x轴，垂足为D，
i) 当A为直角顶点时，延长CA至点
，使
，则△
是以AB为直角边的等腰直
角三角形，过点作
⊥
轴，
∵
＝
，∠
＝∠
，∠
＝∠
＝90°，
∴△
≌△
，∴AE＝AD＝2， 
＝CD＝1,
∴可求得的坐标为(1，－1)，经检验点在二次函数的图象上；
ii） 当B点为直角顶点时，过点B作直线L⊥BA，在直线L上分别取
，得到以AB为直角边的等腰直角△
和等腰直角△
，作
⊥y轴，同理可证△
≌△
∴
BF＝OA＝1，可得点
的坐标为（2， 1），经检验点在二次函数的图象上．同理可得点
的坐标为（－2， 3），经检验点不在二次函数的图象上
综上：二次函数的图象上存在点(1，－1)，（2，1）两点，使得△
和△是以AB为直角边的等腰直角三角形．
【解析】(1)根据旋转的性质得出C点坐标；
（2）①把C点代入求得二次函数的解析式；②利用二次函数的图象得出y的取值范围；③分二种情况进行讨论.
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