Question

6．设抛物线y=-x²+2x+3的顶点为E，与y轴交于点C，EF⊥x轴于点，若点M（m，0）是x轴上的动点，且满足以MC为直径的圆与线段EF有公共点，则实数m的取值范围是-$\frac{5}{4}$≤m≤5．

Answer 1

分析 根据题意表示出圆心的坐标、圆的半径、圆心到EF的距离，列出不等式求出答案．

解答 解：∵M（m，0），C（0，3），
∴圆心N的坐标（$\frac{m}{2}$，$\frac{3}{2}$），
圆N的半径为：$\frac{\sqrt{{m}^{2}+9}}{2}$，
圆心到EF的距离为：|1-$\frac{m}{2}$|，
由题意得，
|1-$\frac{m}{2}$|≤$\frac{\sqrt{{m}^{2}+9}}{2}$≤$\sqrt{（\frac{m}{2}-1）^{2}+（4-\frac{3}{2}）^{2}}$，
解得：-$\frac{5}{4}$≤m≤5．
故答案为：-$\frac{5}{4}$≤m≤5．

点评 本题考查的是直线与圆的关系和二次函数的性质，掌握若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离是解题的关键．