题目内容

△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，把一个三角板的直角顶点放在点D处，将三角板绕点D旋转且使两条直角边分别交AB、AC于E、F。
（1）如图1，观察旋转过程，猜想线段AF与BE的数量关系并证明你的结论；
（2）如图2，若连接EF，试探索线段BE、EF、FC之间的数量关系，直接写出你的结论（不需证明）；
（3）如图3，若将“AB=AC，点D是BC的中点”改为：“∠B=30°，AD⊥BC于点D”，其余条件不变，探索（1）中结论是否成立？若不成立，请探索关于AF、BE的比值。
解：（1）（1）结论：AF=BE，
证明：连接AD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC的中点，
∴AD=BD=DC=BC，∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠B=∠C=∠1=∠2=45°，
∴∠3+∠5=90°，
∵∠3+∠4=90°，
∴∠5=∠4，
∵BD=AD，
∴△BDE≌△ADF，
∴BE=AF；
（2）；
（3）（1）中的结论BE=AF不成立，
∵∠B=30°，AD⊥BC于点D，∠BAC=90°，
∴∠3+∠5=90°，∠B+∠1=90°，
∵∠3+∠4=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠B=∠2，∠5=∠4，
∴△BDE∽△ADF，
∴。
练习册系列答案
相关题目
18、如图，在△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE分别是边AC，AB上的高，BD、CE相交于点O，则∠BOC的度数是
120°
．
精英家教网如图，△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC．点P在△ABC内，且PA=
3
，PB=5，PC=2，求△ABC的面积．
精英家教网如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=a，AD是△ABC的高，则AD的长为
 
．
93、如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC，那么△AEF是等腰三角形吗？
（2013•达州）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．

（1）思路梳理
∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．
根据
SAS
SAS
，易证△AFG≌
△AEF
△AEF
，得EF=BE+DF．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系
∠B+∠D=180°
∠B+∠D=180°
时，仍有EF=BE+DF．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．

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