Question

如图，直线AB过点A（m，0）、B（0，n）（其中m＞0，n＞0）．反比例函数y=

p

x

（p＞0）的图象与直线AB交于C、D两点，连接OC、OD．
（1）已知m+n=10，△AOB的面积为S，问：当n何值时，S取最大值？并求这个最大值；
（2）若m=8，n=6，当△AOC、△COD、△DOB的面积都相等时，求p的值．

Answer 1

分析：（1）根据题意，得：OA=m，OB=n，又由m+n=10，得m=10-n，进而可得S关于m、n的关系式，结合二次函数的性质计算可得答案；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，根据题意，可得关于k、b的关系式，过点D、C分别作x轴的垂线，垂足分别点E、F，由△AOC、△COD、△DOB的面积都相等，可得关系式，解可得答案．

解答：解：（1）根据题意，得：OA=m，OB=n，
所以S=

1

2

mn，（1分）
又由m+n=10，得m=10-n，
得：S=

1

2

n（10-n）=-

1

2

n²+5n（2分）
=-

1

2

（n-5）²+

25

2

（3分）
∵-

1

2

＜0，∴当n=5时，S取最大值

25

2

（4分）

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，
因为直线AB过点A（8，0），B（0，6）
所以

8k+b=0 b=6

，
解得：k=-

3

4

，b=6，
所以直线AB的函数关系式为y=-

3

4

x+6（6分）
过点D、C分别作x轴的垂线，垂足分别点E、F，
当△AOC、△COD、△DOB的面积都相等时，
有S_△AOC=

1

3

S_△AOB，即

1

2

OA×CF=

1

3

×

1

2

OA×OB，
所以CF=2（8分）
即C点的纵坐标为2
将y=2代入y=-

3

4

x+6，得x=

16

3

（9分）
即点C的坐标为(

16

3

，2)
因为点C在反比例函数图象上
所以p=

32

3

（10分）

点评：本题考查了反比例函数的图象的性质以及其与直线的关系，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．