题目内容
如图，Rt△ABO的边OB在x轴上，且∠ABO=90°，AB：BO=3：4，点A刚好落在双曲线y=
上．
（1）求点A的坐标；
（2）以O为位似中心，在y轴的右侧按1：2的比例画出△ABO缩小后的位似图形△A′B′O，点A对应点记为A′，点B的对应点记为B′；
（3）试在x轴上确定点P的坐标，使以A′、B′、P为顶点的三角形与△ABO相似，写出计算过程．
| 48 | x |
（1）求点A的坐标；
（2）以O为位似中心，在y轴的右侧按1：2的比例画出△ABO缩小后的位似图形△A′B′O，点A对应点记为A′，点B的对应点记为B′；
（3）试在x轴上确定点P的坐标，使以A′、B′、P为顶点的三角形与△ABO相似，写出计算过程．
分析：（1）根据题意可设点A的坐标为（4k，3k），将点A代入反比例函数解析式可得出k的值，继而可得出点A的坐标；
（2）根据位似中心为点O，可作出y轴右侧的位似图形．
（3）根据（2）可得∠A'B'P=90°，要想使以A′、B′、P为顶点的三角形与△ABO相似需要满足
=
或
=
，分类讨论可得出点P的坐标．
（2）根据位似中心为点O，可作出y轴右侧的位似图形．
（3）根据（2）可得∠A'B'P=90°，要想使以A′、B′、P为顶点的三角形与△ABO相似需要满足
| A′B′ |
| AB |
| B′P |
| OB |
| A′B′ |
| BO |
| B′P |
| AB |
解答：解：（1）∵AB：BO=3：4，且OB=xA，AB=yA，
∴yA=3k，xA=4k，
∵点A在双曲线y=
上，
∴12k2=48，
解得：k=±2，
∵如图点A在第一象限，
∴xA=8，yA=6，
∴点A的坐标为（8，6）．
（2）
（3）∵点P在x轴上，
∴∠A'B'P=∠ABO=90°，
要使以A'、B'、P为顶点的三角形与△ABO相似，还需
=
或
=
，
由第（1）小题可得AB=6，BO=8，
由第（2）小题可得，A'B'=3，A'（4，3），B'（4，0），
①当
=
时，
=
，
解得：B'P=4，
则点P的坐标为（0，0）或（8，0）；
②当
=
时，
=
，
解得：B'P=
，
则|xP-xB'|=
，即|xP-4|=
，
解得：xP=
或xP=
，
则点P的坐标为（
，0）或（
，0），
综上可得点P的坐标为（0，0）或（8，0）或（
，0）或（
，0）可使以A'、B'、P为顶点的三角形与△ABO相似．
∴yA=3k，xA=4k，
∵点A在双曲线y=
| 48 |
| x |
∴12k2=48，
解得：k=±2，
∵如图点A在第一象限，
∴xA=8，yA=6，
∴点A的坐标为（8，6）．
（2）
（3）∵点P在x轴上，
∴∠A'B'P=∠ABO=90°，
要使以A'、B'、P为顶点的三角形与△ABO相似，还需
| A′B′ |
| AB |
| B′P |
| OB |
| A′B′ |
| BO |
| B′P |
| AB |
由第（1）小题可得AB=6，BO=8，
由第（2）小题可得，A'B'=3，A'（4，3），B'（4，0），
①当
| A′B′ |
| AB |
| B′P |
| OB |
| 3 |
| 6 |
| B′P |
| 8 |
解得：B'P=4，
则点P的坐标为（0，0）或（8，0）；
②当
| A′B′ |
| BO |
| B′P |
| AB |
| 3 |
| 8 |
| B′P |
| 6 |
解得：B'P=
| 9 |
| 4 |
则|xP-xB'|=
| 9 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
解得：xP=
| 7 |
| 4 |
| 25 |
| 4 |
则点P的坐标为（
| 7 |
| 4 |
| 25 |
| 4 |
综上可得点P的坐标为（0，0）或（8，0）或（
| 7 |
| 4 |
| 25 |
| 4 |
点评：此题属于反比例函数的综合题，涉及了反比例函数上点的坐标特点，位似作图、相似三角形的判定与性质，综合性较强，解答本题需要同学们熟练各个知识点，并能将各知识点融会贯通．
练习册系列答案
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