Question

如图直线y=-

1

2

x+2分别交x轴、y轴于点A和B，点P（t，0）是x轴上一动点，P、Q两点关于直线AB轴对称，PQ交AB于点M，作QH⊥x轴于点H．
（1）求tan∠OAB的值；
（2）当QH=2时，求P的坐标；
（3）连接OQ，是否存在t的值，使△OQH与△APM相似？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据直线解析式求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB的长度，再根据锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解；
（2）根据勾股定理求出AB的长度，再根据∠QPH的正弦等于∠OAB的余弦求出QP的长，然后根据轴对称的性质求出PM的长，再利用∠OAB的正弦值求出AP的长，再分点P在点A的左边与右边两种情况求出OP的长度，即可得到点P的坐标；
（3）分点P在点A的左边与右边两种情况，根据点P的坐标表示出AP的长，再利用∠OAB的正弦值表示出PM，根据轴对称的性质表示出PQ，利用∠QPH的正弦表示出QH，余弦表示出PH，从而可以表示出OH，再根据两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似，分两种情况列式求解即可．

解答：解：（1）令y=0，则-

1

2

x+2=0，解得x=4，
令x=0，则y=2，
所以，点A（4，0），B（0，2），
所以，OA=4，OB=2，
tan∠OAB=

OB

OA

=

2

4

=

1

2

；

（2）根据勾股定理，AB=

OA2+OB2

=

42+22

=2

5

，
∵P、Q两点关于直线AB轴对称，
∴∠OAB+∠QPH=90°，
∴sin∠QPH=cos∠OAB=

4

2 5

=

2 5

5

，
cos∠QPH=sin∠OAB=

2

2 5

=

5

5

，
∵QH⊥x轴，QH=2，
∴PQ=QH÷sin∠QPH=2÷

2 5

5

=

5

，
∵P、Q两点关于直线AB轴对称，PQ交AB于点M，
∴PM=

1

2

PQ=

5

2

，
∴AP=PM÷sin∠OAB=

5

2

÷

5

5

=

5

2

，
①当点P在点A的左边时，OP=OA-AP=4-

5

2

=

3

2

，
此时，点P的坐标是（

3

2

，0），
②当点P在点A的右边时，OP=OA+AP=4+

5

2

=

13

2

，
此时，点P的坐标是（

13

2

，0）；
故，点P的坐标为（

3

2

，0）或（

13

2

，0）；

（3）①当点P在点A的左边时，
∵点P的坐标为（t，0），
∴AP=4-t，PM=AP•sin∠OAB=

5

5

（4-t），
∵P、Q两点关于直线AB轴对称，PQ交AB于点M，
∴PQ=2PM=

2 5

5

（4-t），
QH=PQ•sin∠QPH=

2 5

5

（4-t）×

2 5

5

=

16-4t

5

，
PH=PQ•cos∠QPH=

2 5

5

（4-t）×

5

5

=

8-2t

5

，
当点P在点O右侧时，OH=OP+PH=t+

8-2t

5

=

8+3t

5

，
∵△OQH与△APM相似，
∴

OH

QH

=

AP

AM

=tan∠OAB或

QH

OH

=

AP

AM

=tan∠OAB，
即

8+3t 5

16-4t 5

=

1

2

或

16-4t 5

8+3t 5

=

1

2

，
解得t=0或t=

24

11

；
当点P在点O左侧时，OH=OP-PH=（-t）-

8-2t

5

=-

8+3t

5

，
∵△OQH与△APM相似，
∴

OH

QH

=

AP

AM

=tan∠OAB或

QH

OH

=

AP

AM

=tan∠OAB，
即

- 8+3t 5

16-4t 5

=

1

2

或

16-4t 5

- 8+3t 5

=

1

2

，
解得t=-16或t=8（舍去）；
②当点P在点A的左边时，
∵点P的坐标为（t，0），
∴AP=t-4，PM=AP•sin∠OAB=

5

5

（t-4），
∵P、Q两点关于直线AB轴对称，PQ交AB于点M，
∴PQ=2PM=

2 5

5

（t-4），
QH=PQ•sin∠QPH=

2 5

5

（t-4）×

2 5

5

=

4t-16

5

，
PH=PQ•cos∠QPH=

2 5

5

（t-4）×

5

5

=

2t-8

5

，
∴OH=OP-PH=t-

2t-8

5

=

3t+8

5

，
∵△OQH与△APM相似，
∴

OH

QH

=

AP

AM

=tan∠OAB或

QH

OH

=

AP

AM

=tan∠OAB，
即

3t+8 5

4t-16 5

=

1

2

或

4t-16 5

3t+8 5

=

1

2

，
解得t=-16（舍去）或t=8，
综上所述，存在t的值，t=0或t=

24

11

或t=-16或t=8，使△OQH与△APM相似．

点评：本题是对一次函数的综合考查，主要涉及一次函数与坐标轴的交点，锐角三角形函数，相似三角形对应边成比例，解直角三角形，（2）要分点P在点A的左右两边两种情况讨论，（3）根据点P的位置的不同，分别列出OH的不同表示是解题的关键，还要根据相似三角形对应边不明确需要分情况讨论．