Question

4．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（-2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点．若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE′D′F′，记旋转角为α．当α=90°时，求AE′，BF′的长．

Answer 1

分析 根据点A和点B的坐标得到OA=2，OE=1，OB=2，OF=1，再根据旋转的性质得E′（0，1），F′（1，0），然后利用勾股定理计算AE′，BF′的长．

解答 解：∵点A（-2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点，
∴OA=2，OE=1，OB=2，OF=1，
∵正方形OEDF绕点O顺时针旋转90°，得正方形OE′D′F′，
∴E′（0，1），F′（1，0），
在Rt△OAE′中，AE′=$\sqrt{O{A}^{2}+OE{′}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$；
在Rt△OBF′中，BF′=$\sqrt{O{B}^{2}+OF{′}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
即AE′，BF′的长都为$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了坐标与图形性质．