题目内容

如图，矩形OABC的长OA=
3
，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC．
（1）填空：∠PCB=
30
30
度，P点坐标为
（
3
2
，
3
2
）
（
3
2
，
3
2
）
；
（2）若P、A两点在抛物线y=-
4
3
x2+bx+c上，求b，c的值；
（3）若直线y=kx+m平行于CP，且于（2）中的抛物线有且只有一个交点，求k，m的值；
（4）在（2）中抛物线CP段（不包括C，P点）上，是否存在一点M，使得四边形MCAP的面积最大？若存在求此时M的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）在直角△OAC中，根据三角函数就可以求出∠CAO的度数，以及∠OCA的度数．而∠PCA=∠OCA，∠BCA=∠CAO，则∠PCB就可以求出．在直角△PCG中，根据三角函数可以求得CG，PG的长，从而得到P的坐标．
（2）P、A两点的坐标容易得到，根据待定系数法就可以求出抛物线的解析式．求出b，c的值．C点的坐标已知，代入函数的解析式，就可以判断是否在函数的图象上．
（3）根据点P及点C的坐标可得出直线PC的解析式，这样可得出k的值，再由此直线与y=-
4
3
x2+bx+c有且只有一个交点，利用根的判别式可得出m的值．
（4）过点M作MF⊥x轴分别交CP、CB和x轴于E、N和F，过点P作PG⊥x轴交CB于G，根据S△CMP=s△CME+S△PME，四边形MCAP的面积就可以表示成OF的函数，利用函数的性质，就可以求出最值．
解答：解：（1）过点P作PG⊥x轴交CB于G．
tan∠CAO=
OC
OA
=
3
3
，
∴∠CAO=30°，
∴PCA=60°，
又∵∠ACB=30°，
∴∠PCB=30°，
在RT△PCM中，PG=
1
2
PC=
1
2
OC=
1
2
，GC=
3
2
，
∴点P的坐标为（
3
2
，
3
2
）．
综上可得：∠PCB=30°，P点坐标为（
3
2
，
3
2
）．

（2）把P(
3
2
，
3
2
)与A(
3
，0)分别代入y=-
4
3
x2+bx+c，
解得：b=
3
，c=1，
∴y=-
4
3
x2+
3
x+1，

（3）由P(
3
2
，
3
2
)，C（0，1）可得直线CP：y=
3
3
x+1，
∵直线y=kx+m平行于CP，
∴k=
3
3
，
∵y=
3
3
x+m与y=-
4
3
x2+
3
x+1只有一个交点，
∴-
4
3
x2+
3
x+1=
3
3
x+m有两个相同的实数根(
2
3
3
)2-4×
4
3
×(m-1)=0，
解得：m=
5
4
；…（3分）

（4）假设存在这样的点M，使得四边形MCAP的面积最大．
∵△ACP面积为定值，
∴要使四边形MCAP的面积最大，只需使△PCM的面积最大．
过点M作MF⊥x轴分别交CP、CB和x轴于E、N和F，过点P作PG⊥x轴交CB于G．

S△CMP=s△CME+S△PME=
1
2
ME•CG=
3
4
ME
设M（x0，y0），
∵∠ECN=30°，CN=x0，
∴EN=
3
3
x0
∴ME=MF-EF=-
4
3
x02+
2
3
3
x0
∴S△CMP=-
3
3
x02+
1
2
x
∵a=-
3
3
＜0，
∴S有最大值．
当x0=
3
4
时，S的最大值是
3
16
，
∵S△MCAP=S△CPM+S△ACP
∴四边形MCAP的面积的最大值为
9
3
16

此时M点的坐标为（
3
4
，
3
2
）
所以存在这样的点M（
3
4
，
3
2
），使得四边形MCAP的面积最大，其最大值为
9
3
16
．
点评：本题主要考查了待定系数法求函数的解析式、翻折变换及二次函数最值问题，是一道难度较大的综合题，注意掌握最值问题基本的解决思路是转化为函数问题．
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②求OE、DE的长度；
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k
x
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13
4
，则k=
 
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精英家教网已知如图，矩形OABC的长OA=
3
，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC．
（1）求∠PCB的度数；
（2）若P，A两点在抛物线y=-
4
3
x2+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；
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3
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