Question

如图，二次函数y=x²+px+q（p＜0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），△ABC的面积为

5

4

．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与△ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；
（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ACBD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由△ABC的面积为

5

4

，可得AB×OC=

5

2

，又二次函数y=x²+px+q（p＜0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1）可求得该二次函数的关系式；
（2）根据直线与圆的位置的位置关系确定m的取值范围．
（3）四边形ABCD为直角梯形，要分类讨论，即究竟那条边为底．可以分别以AC、BC为底进行讨论．

解答：解：（1）∵OC=1，
∴q=-1，
∵△ABC的面积为

5

4

．
∴

1

2

OC×AB=

5

4

，
解得AB=

5

2

，
设A（a，0），B（b，0），
则a、b是一元二次方程x²+px-1=0两个根，
∴a+b=-p，ab=-1，
∴AB=b-a=

(a+b)2-4ab

=

5

2

，
解得p=±

3

2

，
又∵p＜0，
∴p=-

3

2

．
所以解析式为：y=x²-

3

2

x-1；

（2）令y=0，
解方程得x²-

3

2

x-1=0，
得x₁=-

1

2

，x₂=2，
所以A（-

1

2

，0），B（2，0），
在直角三角形AOC中可求得AC=

5

2

，同样可求得BC=

5

，
显然AC²+BC²=AB²，得三角形ABC是直角三角形．AB为斜边，
所以外接圆的直径为AB=

5

2

，
所以-

5

4

≤m≤

5

4

．

（3）存在，AC⊥BC，
①若以AC为底边，则BD∥AC，易求AC的解析式为y=-2x-1，
可设BD的解析式为y=-2x+b，
把B（2，0）代入得BD解析式为y=-2x+4，
解方程组

y=x2- 3 2 x-1 y=-2x+4

得D（-

5

2

，9）
②若以BC为底边，则BC∥AD，易求BC的解析式为y=0.5x-1，
可设AD的解析式为y=0.5x+b，把A（-

1

2

，0）代入
得AD解析式为y=0.5x+0.25，
解方程组

y=x2- 3 2 x-1 y=0.5x+0.25

得D（

5

2

，

3

2

）
综上，所以存在两点：（-

5

2

，9）或（

5

2

，

3

2

）．

点评：本题综合考查了二次函数的有关知识以及直线与圆的关系，范围较广，难度较大．