Question

11．如图，已知△ABC，分别以它的三边为边长，在BC边的同侧作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，求证：四边形ADEF是平行四边形．

Answer 1

分析 当一个图中出现2个等边三角形时就可以找出一对全等三角形，可得出一对对边相等，证出DE=AF，DA=EF，即可得出结论．

解答 证明：∵△ABD，△BEC都是等边三角形，
∴BD=AB，BE=BC，∠DBA=∠EBC=60°，
∴∠DBE=60°-∠EBA，∠ABC=60°-∠EBA，
∴∠DBE=∠ABC，
在△DBE和△ABC中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=AB}&{\;}\\{∠DBE=∠ABC}&{\;}\\{BE=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△ABC（SAS），
∴DE=AC，
又∵△ACF是等边三角形，
∴AC=AF，
∴DE=AF．
同理可得：△ABC≌△FEC，
∴EF=AB=DA．
∵DE=AF，DA=EF，
∴四边形ADEF为平行四边形；

点评 本题考查了平行四边形的判定、等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．