Question

如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：
①AE=CF；②∠APE=∠CPF；③△EPF是等腰三角形；④S_{四边形AEPF}=

1

2

S△ABC．
当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终成立的有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：计算题

分析：由EP垂直于FP，AP垂直于BC，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由三角形ABC为等腰直角三角形得到AP=PC，且∠EAP=∠C=45°，利用ASA得到三角形AEP与三角形CFP全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等即可做出判断．

解答：解：∵EP⊥FP，AP⊥BC，
∴∠APE+∠APF=90°，∠APF+∠FPC=90°，
∴∠APE=∠FPC，选项②正确；
∵△ABC为等腰直角三角形，AP⊥BC，
∴∠EAP=∠C=45°，AP=CP，
在△AEP和△CFP中，

∠EAP=∠C=45° AP=CP ∠APE=∠CPF

，
∴△AEP≌△CFP（ASA），
∴AE=CF，选项①正确；PE=PF，
∴△PEF为等腰直角三角形，选项③正确；
∴S_{四边形AEPF}=S_△AEP+S_△APF=S_△CFP+S_△APF=S_△APC=

1

2

S_△ABC，选项④正确，
则当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终成立的有4个．
故选D

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．