题目内容

己知：如图1，抛物线y=ax2-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（O，-4），与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（4，0）．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点P（t，O）是线段AB上一动点（不与A、B重合），过P点作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△CPE的面积S与t的函数关系式，并指出t的取值范围；
（3）如图2，若平行于x轴的动直线r与该抛物线交于点Q，与直线AC交于F，点D的坐标为（2，0）．问是否存在这样的直线r，使得△0DF为等腰三角形？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
（1）由题意得
16a-8a+c=0
c=-4
，
解得
a=0.5
c=-4

∴该抛物线的函数解析式为y=0.5x2-x-4；

（2）过点E作EG⊥x轴于G，
由0.5x2-x-4=0，
得x1=-2，x2=4．
AB=6，BP=2+t，
证△BPE∽△BAC，可得EG=
2
3
（t+2），
S=S△CPB-S△BPE=
1
2
BP•CO-
1
2
BP•EG=
1
2
（t+2）（4-
2
3
（t+2））=-
1
3
t2+
2
3
t+
8
3

-2＜t＜4．

（3）这样的Q点存在，使得△ODF为等腰三角形．
①当OF=DF时，Q（x．-3）
0.5x2-x-4=-3，x=1±
3
，
∴Q1(1+
3
，-3)，Q2(1-
3
，-3)
②当OD=DF=2时，Q（x，-2）
0.5x2-x-4=-2，x=1±
5
，
∴Q3(1+
5
，-2)，Q4(1-
5
，-2)．
练习册系列答案
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如图，两条抛物线y1=-
1
2
x2+1，y2=-
1
2
x2-1与分别经过点（-2，0），（2，0）且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（　　）
A．8B．6C．10D．4
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（1）求出B点坐标和这个二次函数的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）若P是抛物线对称轴上一个动点，求当PA+PC的值最小时P点坐标．
已知抛物线y=ax2-x+c经过点Q（-2，
3
2
），且它的顶点P的横坐标为-1．设抛物线与x轴相交于A、B两点，如图．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求A、B两点的坐标；
（3）设PB于y轴交于C点，求△ABC的面积．
图1是边长分别为4
3
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