Question

已知：抛物线与x轴交于点A（，0）、B（，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C.

（1）若m＞1，△ABC的面积为6，求抛物线的解析式；

（2）点D在x轴下方，是（1）中的抛物线上的一个动点，且在该抛物线对称轴的左侧，作DE∥x轴与抛物线交于另一点E，作DF⊥x轴于F，作EG⊥x轴于点G，求矩形DEGF周长的最大值；

（3）若m<0，以AB为一边在x轴上方做菱形ABMN（∠NAB为锐角）， P是AB边的中点，Q是对角线AM上一点，若， ，当菱形ABMN的面积最大时，求点A的坐标．

Answer 1

解：∵ 抛物线与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0），

∴ x₁、x₂是关于x的方程的解.

解方程，得或.

（1）∵ A在B 的左侧，m>1，

∴ ，.

∴ AB=m－1.

抛物线与y轴交于C（0，m）点.                      

5

            ∴ OC=m.

3

4

            △ABC的面积S==.

1

2

            解得 ，（不合题意，舍去）.

∴ 抛物线解析式为.

 

（2）∵ 点D在（1）中的抛物线上，

∴ 设D（t, ）（）.

∴ F（t，0），DF=.

又抛物线对称轴是直线，DE与抛物线对称轴交点记为R（如图12），

∴ DR=，DE=.

设矩形DEGF的周长为L，则 L=2（DF+DE）.

∴ L =2（＋）

=

=.

∵ ，

∴ 当且仅当时，L有最大值.

当时，L_最大=.

∴ 矩形周长的最大值为.

（3）∵ A在B 的左侧，m<0，

∴ ，.

∴ AB=1－m.

如图13，作NH⊥AB于H，连结QN.

在Rt△AHN中， .

设AH=4k（k>0）， 则AN=5k，NH=3k.

∴ AP===，PH=AH －AP==，PN==.

∵ 菱形ABMN是轴对称图形，

∴ QN=QB.

∴ PQ+QN = PQ+QB=6.

∵ PQ+QN≥PN（当且仅当P、Q、N三点共线时，等号成立）.

∴ ，

解得 k≤.

∵ S_菱形ABMN=AB·NH=15 k²≤48.

∴ 当菱形面积取得最大值48时，k=.

此时AB=5k=1－m =.

解得 m=1－.

∴ A点的坐标为（1－，0）.