Question

抛物线y=ax²+bx+c的图象如图所示，已知该抛物线与x轴交于A、B两点，顶点为C，
（1）根据图象所给信息，求出抛物线的解析式；
（2）求直线BC与y轴交点D的坐标；
（3）点P是直线BC上的一点，且△APB与△DOB相似，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据图象直接得出二次函数的顶点式以及图象经过点（-1，0），即可得出答案；
（2）根据二次函数解析式得出与x轴的交点坐标，进而得出直线解析式，即可得出答案；
（3）分别对当△PAB∽△DOB和当△APB∽△DOB，得出答案即可．

解答：解：（1）设y=a（x-1）²+4（2分）
∵图象经过点（-1，0），
∴4a+4=0，a=-1（1分），
∴y=-x²+2x+3（1分）；

（2）-x²+2x+3=0，解得x₁=3，x₂=-1，
∴B（3，0）（1分），
设y=kx+b（k≠0），

3k+b=0 k+b=4

，
解得

k=-2 b=6

，（1分）
∴y=-2x+6，（1分）
∴D（0，6）．（1分）

（3）设P（k，-2k+6），（k＜3），（1分）
当△PAB∽△DOB，k=-1，
∴-2k+6=2+6=8（1分），
∴P（-1，8），（1分）
当△APB∽△DOB，过点P作PF⊥x轴，垂足为点F，
∴∠ODB=∠PAB（1分），
∴tan∠PAB=tan∠ODB=

PF

AF

=

-2k+6

1+k

=

3

6

=

1

2

（1分），
∴k=

11

5

，∴P(

11

5

，

8

5

)（1分），
综上所述，P的坐标是（-1，8）或(

11

5

，

8

5

)．

点评：此题主要考查了二次函数的顶点式求解析式以及直线解析式求法以及相似三角形的性质，根据相似三角形的性质解决二次函数问题是考查重点同学们应重点掌握．