题目内容
【题目】阅读题.
材料一：若一个整数m能表示成a2-b2(a,b为整数)的形式，则称这个数为“完美数”.例如，3=22-12，9=32-02，12=42-22，则3，9，12都是“完美数”；再如，M=x2+2xy=(x+y)2-y2,(x,y是整数),所以M也是”完美数”.
材料二：任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q(p、q是正整数，且p≤q)．如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并且规定F(n)＝
.例如18＝1×18＝2×9＝3×6，这三种分解中3和6的差的绝对值最小，所以就有F(18)＝
.请解答下列问题：
(1)8______（填写“是”或“不是”）一个完美数，F(8)= ______.
(2)如果m和n都是”完美数”，试说明mn也是完美数”.
(3)若一个两位数n的十位数和个位数分别为x,y(1≤x≤9),n为“完美数”且x+y能够被8整除，求F(n)的最大值.
【答案】(1)是，
；（2）说明见解析； (3)
.
【解析】
（1）利用“完美数”的定义可得；
（2）根据完全平方公式，可证明mn是“完美数”；
（3）两个一位数相加能被8整除,说明x+y=8或16, 这样可得正整数n为79,97,88,71,17,26,62,35,53,44共10种, 根据n为“完美数”可把n=26和n=62舍去，再根据n的最佳分解确定出F(n)的最大值.
(1) ）∵8=32-12
∴8是完美数,
F(8)=
=
故答案为:是, .
（2）设m=
, n=
,其中a,b,c,d均为整数,
则mn= ()()
=
=
∵a，b，c，d均为整数
∴ac+bd与ad+bc也是整数，即mn是“完美数”.
(3) ∵两个一位数相加能被8整除,
∴ x+y=8或16,
∴n=79或97或88或71或17或26或62或35或53或44,
∵n为“完美数”,
∴n=79或97或88或71或17或35或53或44,
其中F(79)=
,F(97)= 
,F(88)=, F(71)=
, F(17)=
, F(35)=
, F(53)=
, F(44)=
,
∴F(n)的最大值为.
【题目】探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：
a | … | 0.0001 | 0.01 | 1 | 100 | 10000 | … |
| … | 0.01 | x | 1 | y | 100 | … |
（1）表格中x= ；y= ；
（2）从表格中探究a与
数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知
≈3.16，则
≈ ；②已知
=1.8，若=180，则a= ；
（3）拓展：已知
，若
，则b= ．
