Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+2x+8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且B（4，0）．

(1)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；

(2)如果点P（p，0）是x轴上的一个动点，则当|PC﹣PD|取得最大值时，求p的值；

(3)能否在抛物线第一象限的图象上找到一点Q，使△QBC的面积最大，若能，请求出点Q的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=﹣（x﹣1）2+9 ，D（1，9）； (2)p=﹣8；（3）存在点Q（2，8）使△QBC的面积最大．

【解析】

（1）把点B的坐标代入y=ax2+2x+8求得a的值，即可得到该抛物线的解析式，再把所得解析式配方化为顶点式，即可得到抛物线顶点D的坐标；

（2）由题意可知点P在直线CD上时，|PC﹣PD|取得最大值，因此，求得点C的坐标，再求出直CD的解析式，即可求得符合条件的点P的坐标，从而得到p的值；

（3）由（1）中所得抛物线的解析式设点Q的坐标为（m，﹣m2+2m+8）（0＜m＜4），然后用含m的代数式表达出△BCQ的面积，并将所得表达式配方化为顶点式即可求得对应点Q的坐标.

（1）∵抛物线y=ax2+2x+8经过点B（4，0），

∴16a+8+8=0，

∴a=﹣1，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+8=﹣（x﹣1）2+9，

∴D（1，9）；

（2）∵当x=0时，y=8，

∴C（0，8）．

设直线CD的解析式为y=kx+b．

将点C、D的坐标代入得：，解得：k=1，b=8，

∴直线CD的解析式为y=x+8．

当y=0时，x+8=0，解得：x=﹣8，

∴直线CD与x轴的交点坐标为（﹣8，0）．

∵当P在直线CD上时，|PC﹣PD|取得最大值，

∴p=﹣8；

（3）存在，

理由：如图，由（2）知，C（0，8），

∵B（4，0），

∴直线BC的解析式为y=﹣2x+8，

过点Q作QE∥y轴交BC于E，

设Q（m，﹣m2+2m+8）（0＜m＜4），则点E的坐标为：（m，﹣2m+8），

∴EQ=﹣m2+2m+8﹣（﹣2m+8）=﹣m2+4m，

∴S△QBC=（﹣m2+4m）×4=﹣2（m﹣2）2+8，

∴m=2时，S△QBC最大，此时点Q的坐标为：（2，8）．